Problème d'Apollonius de Perge : trouver les cercles tangents à 3 objets : cercle, droite ou point

Dans son ouvrage perdu Les Contacts (ou De Tactionibus), Apollonius de Perge (IIIᵉ siècle av. J.-C.) pose et résout le problème géométrique suivant :

Tracer, à la règle et au compas, un cercle tangent à trois objets donnés dans un plan, chaque objet pouvant être un point, une droite ou un cercle.

Ce problème est aujourd'hui célèbre sous le nom de Problème d'Apollonius.

Les 10 cas de figure

Puisque chacun des 3 objets de départ peut être un Point, une Droite ou un Cercle, il existe 10 combinaisons possibles (en considérant qu'un cercle doit être tangent aux droites/cercles et passer par les points) :

Code Éléments donnés Difficulté / Remarque
PPP 3 points Simple (cercle circonscrit)
DDD 3 droites Simple (cercles inscrit et exinscrits)
PPD 2 points, 1 droite Intermédiaire
PDD 1 point, 2 droites Intermédiaire
PPC 2 points, 1 cercle Intermédiaire
PDC 1 point, 1 droite, 1 cercle Avancé
DDC 2 droites, 1 cercle Avancé
DCC 1 droite, 2 cercles Avancé
PCC 1 point, 2 cercles Avancé
CCC 3 cercles Le problème général d'Apollonius

Le cas le plus célèbre : Les 3 cercles (CCC)

Le problème culminant est le cas CCC : trouver un cercle tangent à 3 cercles donnés.

  • Nombre de solutions : Dans le cas général où les trois cercles ne se croisent pas et n'ont pas de configurations particulières, il existe jusqu'à 8 cercles solutions différents (selon que le cercle solution englobe ou laisse à l'extérieur chacun des trois cercles d'origine).
  • Méthode d'Apollonius : Bien que le texte original d'Apollonius ait été perdu, Pappus d'Alexandrie nous en a transmis l'esprit. Apollonius utilisait des réductions successives (homothéties géométriques et transformations) pour ramener le cas complexe CCC à des cas plus simples (comme PCC puis PPP).
Le passage du cas général à 3 cercles (CCC) à un cas plus simple reposait sur une idée géométrique géniale attribuée à Apollonius : la **réduction de taille des cercles** (ce qu'on appellerait aujourd'hui une variation de rayon par homothétie/dilatation).
Voici comment on transforme le problème CCC (3 cercles) en un problème PCC (1 point et 2 cercles).
### L'idée clé : Réduire le plus petit cercle à un point
Soit trois cercles donnés C_1, C_2, et C_3, avec leurs rayons respectifs R_1, R_2, et R_3. On suppose que C_1 est le plus petit des trois (R_1 est le rayon minimal).
1. On dégonfle le cercle C_1 : On réduit son rayon R_1 jusqu'à ce qu'il devienne un simple point P_1 (son centre).
2. On modifie les deux autres cercles (C_2 et C_3) de la même quantité :
   * Si l'on cherche un cercle solution qui soit **extérieurement tangent** aux trois cercles, on *diminue* le rayon de C_2 et C_3 d'une valeur exacte égal à R_1.
   * Les nouveaux cercles deviennent C'_2 (de rayon R_2 - R_1) et C'_3 (de rayon R_3 - R_1).
```
Configuration initiale (CCC)      -->     Configuration réduite (PCC)
----------------------------              ---------------------------
Cercle C1 (rayon R1)                      Point P1 (centre de C1)
Cercle C2 (rayon R2)                      Cercle C'2 (rayon R2 - R1)
Cercle C3 (rayon R3)                      Cercle C'3 (rayon R3 - R1)

```
### La résolution étape par étape
1. Résoudre PCC : On cherche maintenant un cercle S' qui passe par le point P_1 et qui est tangent aux deux nouveaux cercles C'_2 et C'_3.
2. Revenir au problème d'origine : Une fois ce cercle S' trouvé (de centre O et de rayon R'), il suffit d'augmenter son rayon de R_1 pour obtenir le cercle solution S du problème initial (de centre O et de rayon R' + R_1).
### Et pour les 8 solutions ?
Selon que le cercle recherché entoure ou laisse à l'extérieur les cercles d'origine, on adapte l'opération : au lieu de soustraire R_1 partout, on peut **ajouter** R_1 à certains cercles et le **soustraire** à d'autres.
C'est cette combinaison de signes (+ ou -) sur les trois cercles qui donne naissance aux **8 cercles solutions possibles** !
### Et après PCC ?
Une fois ramené à **PCC** (1 point P et 2 cercles C_2, C_3), les géomètres (comme François Viète lors de sa célèbre reconstitution du traité en 1600) utilisent une autre transformation géométrique : l'inversion géométrique (ou la puissance d'un point par rapport à un cercle).
L'inversion permet de transformer l'un des cercles en une droite, ramenant ainsi le problème PCC au cas PDC (Point, Droite, Cercle), puis PPD (2 Points, Droite), jusqu'à arriver à des constructions directes de droites et d'intersections à la règle et au compas.


Quelques cas avec Cabri