Trouver les cercles tangents à deux droites et un cercle
On cherche à trouver les cercles tangents à 2 droites et 1 cercle.
Deux droites forment 4 quadrants mais on s'intéresse ici à un seul quadrant.
Pour résoudre le problème de la construction des cercles solutions au problème, on peut partir d'une figure avec une solution.
Le cercle noir répond au problème. Si l'on considère le point de tangence qui est situé entre les deux centres des cercles, il est le centre d'une homothétie qui permet de passer d'un cercle à l'autre.
Cette homothétie transforme les droites tangentes au cercle Ouest en des droites qui seront tangentes au cercle donné comme input. Leur point d'intersection est l'image homothétique du point de concours des droites en input.
Le centre des cercles cherchés se trouvent sur une bissectrice de l'angle formé par les droites en input.
On commence par tracer des tangentes au cercle donné (cercle en bleu clair), parallèles aux deux droites données. Il faut faire des choix. Parmi les deux droites parallèles à une droite donnée, on choisit celle qui pourrait être son image homothétique, dont le centre se trouve au point de tangence prévu entre les deux cercles.
Il s'agit des droites FJ et HJ qui se coupent en J.
Les droites données se coupent en A. La droite AJ coupe le cercle donné en K et L. Ce seront les centres d’homotétie et les points de tangence des paires de cercles.
Enfin, notons que le centre d’un cercle recherché est homotétique au centre du cercle donné, et qu’il est donc colinéaire avec ce dernier et le centre d’homotétie. On trace donc la droite passant par le centre du cercle donné et par K ou L (ou les deux) jusqu’à ce qu’elle coupe la bissectrice des angles formés par les deux droites données (en vert claire). Sur le schéma, il s’agit des points M et N. L’une des solutions à notre problème est le cercle de centre M et de rayon MK ; l’autre est celui de centre N et de rayon NL.
Pourquoi en est-il ainsi ? Considérons, par exemple le cercle de centre M. D’après la construction, il s’agit d’une image homothétique en K du cercle donné. Les deux cercles ont pour seul point commun K. S’ils en avaient un autre, il existerait un troisième point sur une droite passant par K qui serait l’image homothétique de ce point. Or, deux cercles ne peuvent avoir au plus que deux points communs. Cela valide la construction.