Problème d'Apollonius de Perga : trouver les cercles tangents à une droite et deux points

Trouver les cercles  tangents à une droite et 2 points : Cas parallèle

Premier cas : la droite qui joint les 2 points est parallèle à la droite donnée. La droite donnée est en bleu et les deux points C et D forment un segment parallèle à cette droite. On trace la médiatrice du segment CD qui coup à angle droit la droite au point E Le cercle tangent cherché est le cercle circonscrit au triangle CDE qui est affiché en rouge.

Relation dans un triangle rectangle

On considère le triangle rectangle BCD. ( Il est ici inscrit dans un demi-cercle ) Soit E le pied de la hauteur issue de B, sommet avec un angle droit. On a la relation : DE*DC = DB2 Démonstration : Le triangle BEC est lui même rectangle et inscriptible dans un cercle (d) La puissance du point D par rapport à ce cercle est égale à DE * DC puisque la droite DA coupe le cercle en E puis C. à DB2 puisque la droite DB, perpendiculaire au diamètre BC du cercle (d) On a donc DE * DC = DB2 La réciproque est vrai.

Trouver les cercles  tangents à une droite et 2 points : Cas général

Deuxième cas : la droite qui joint les 2 points C et D coupe la droite donnée (en bleu) en E. On trace la perpendiculaire au segment CE qui passe par le point D. On trace aussi le demi-cercle de rtayon CE, qui coupe cette perpendiculaire en F. On trace le cercle circonscrit au triangle  FCD. EF est tangent à ce cercle et donc la puissance de E peut s'exprimer ED * EC = EF2 Soit G le point de la droite bleu tel que EF = EG On aura donc aussi ED * EC = EG2 Ce qui prouve que le cercle circonscrit à GCD en rouge est tangent à la droite bleue EG et est donc le cercle cherché.