Inversion par rapport à un cercle
Figure 1
Figure 3
Figure 4
On se donne un cercle C de centre O et de rayon R. L'inversion est une transformation plane que l'on peut définir à partir de la transformation d'un point du plan euclidien.
Le centre du cercle est appelé le pôle d'inversion.
Figure 1 :
Un point P se transforme en un point P' sur la droite OP tel que OP*OP' = R2
L'inverse du point P' est le point P.
Le point P' peut être construit avec une règle et un compas.
Pour cela, on construit la perpendiculaire à OP en P qui coupe le cercle en H. La tengente au cercle (c) en H coupe la droite OP en P'.
Les deux triangles OHP' et OPH sont semblables puisque les 3 angles sont respectivement égaux.
On a donc
OH/OP = OP'/OH --> OP*OP' = OH2 = R2
Les points situés sur le cercle d'inversion sont leur propres inverses et l'inverse du cercle d'inversion est lui-même.
L'inversion d'un cercle ne passant pas par le centre est un cercle.
Figure 2 :
Si le cercle est intérieur, son inverse sera externe et réciproquement
Figure 2
Figure 3 : Si le cercle plutôt interne coupe le cercle d'inversion ( cercle bleu), son inverse (cercle rouge) sera plutôt externe et coupera le cercle d'inversion aux deux mêmes points.
Figure 4 :
Si le cercle passe par le centre d'inversion O (cercle bleu), son inverse est une droite.
Réciproquement , l'inverse d'une droite ne passant pas par le centre d'inversion O est un cercle passant par le centre O.
L'inverse d'une droite passant par le centre est elle-même.