Construction du pentagone régulier et de l'étoile à 5 branches

Le pentagone régulier non croisé peut être découpé en 5 triangles isocèles. L'angle au centre de chaque triangle est donc de 360°/5 = 72°.
Les autres angles sont donc 108°/2 = 54°.
Les angles du pentagone, réunion de deux angles de 54° sont donc égaux à 108°
Pentagone
 On peut construire un pentagone régulier avec une règle et un  compas.
On part du cercle vert dans lequel on veut inscrire notre pentagone, de centre A.
On trace un diamètre, qui passe par A, GF par exemple.
On trace la médiatrice du segment GF. Elle coupe le cercle vert(à gauche) en C.
Soit D le milieu de AC que l'on peut obtenir par la médiatrice de AC.
Le segment DG se calcule dans le triangle rectangle DAG.
Si le rayon du cercle vaut 2, DG vaut donc
5½.
On construit ( avec le cercle jaune) DI égal à DG.
Le segment GI a même mesure que le côté du pentagone. On peut donc contruire ( cercle de centre G et de rayon GI) les points M et J qui sont les intersections entre le cercle vert et le cercle noir. Il suffit de reporter la distance GM à partir de M et J pour obtenir les points L et N.
GMLNJ en rouge est le pentagone cherché.
AI vaut 5½-1  et GI =  (10 - 2* 5½ )½



étoile
 Il existe en fait 2 pentagone régulier, le deuxième étant formé d'une étoile à 5 branches.
Enfant, à Noël, c'est sa construction que j'ai appris.



Autre construction
 Voici une deuxième construction qui utilise la médiatrice du segment AI, qui coupe le cercle vert en P.
L'angle alpha formé par les segment AP et AU est égal à 72° ou 2*Pi /5 en Radian.
On va vérifier que AW = cos(2*Pi /5)
On va prendre cette fois la valeur 1 pour le rayon du cercle vert.
DA = 1/2
Par construction DI = DG =  √5/2
AW = AI/2 = (DI-DA)/2 = (√5 -1)/4

La construction du pentagone repose sur le calcul et la construction d’un angle de 72° ou 2p/5 ou p vaut Pi

 Soit z = e2ip/5

z5 = e2ip =1

z est donc solution de z5 - 1 = 0 ou (z – 1)( z4 +z3 +z2 +z +1)=0

z est différent de 1. Posons u = z + 1/z

on a donc en divisant par z2 non nul

u2 +u -1=0 équation du second degré dont les solutions sont 

Donc u= (-1 ±√5)/2

Remarquant que

 z + 1/z = e2ipi/5  + e-2ipi/5= 2 cos 2pi/5

Comme cos 2pi/5 est positif, c’est la valeur

cos 2pi/5 = (-1 +√5)/4 qui est retenue.

On obtient alors







3ème construction : fournit directement les 5 sommets du pentagone

Pentagone
 Pour construire le pentagone on part comme d'habitude de deux diamètres perpendiculaire et on va cette fois tracer le cercle vert, centrée sur le milieu de CA et de rayon 1/2 ( par rapport au cercle noir, de base de rayon 1)
On trace donc la droite DE qui coupe le cercle vert en F et en G.
On trace alors deux arcs de cercle centrés en D.
Le premier passe par F et coupe le grand cercle en J et K, qui sont deux sommets du pentagone, dont le sommet de base est en L.
Le deuxième passe par G et coupe le grand cercle en H et I qui sont les deux sommets manquants de notre pentagone.
La construction fonctionne mais pourquoi ?
on a EA = 1/2, EF= 1/2, AD = 1
DJ = DK = DF = ED - EF = ED -1/2
Mais ED2 = EA2 + AD2 = 1/4 + 1 = 5/4
Donc ED = √5/2
et FD = (√5 - 1)/2
HD=ID= GD = FD + 1 = (√5 + 1)/2
Considérant le triangle rectangle LID on a
LI2 = LD2 - ID2 = 22 - ( (√5 + 1)/2)2 =4 -(6 + 2√5)/4 = (10 - 2√5)/4

Si LI est le côté d'un pentagone, l'angle LAI vaut 72° ou 2pi/5.
On applique la loi des cosinus d'Al Kashi au triangle LAI
On a donc
LI2 + 2*LA*AI*cos(2pi/5)= LA2 + AI2= 2
LI2=  2 - cos(2pi/5) = 2 - 2*(-1 +√5)/4 = (10 - 2√5)/4
Les deux méthodes donnant la même valeur, LI est bien un côté du pentagone

LI2 = (10 - 2√5)/4 formule non simplifiable donnat le côté du pentagone.

Remarquons que cos2a = 2cos2a - 1 --> cos2a = (1+ cos2a)/2

On a donc cos2(pi/5) = (1 + cos 2pi/5)/2 = (3 + √5) / 8

si on calcule ((1 + √5)/4)2= (6+ 2√5)/16 = (3 + √5) / 8
Donc
cos(pi/5) = (1 + √5)/4

JD= DF = DK = (√5 - 1)/2

On applique Al Kashi au triangle ADK ( ou AJD)
JD2 + 2*AJ*AD* cos(alpha) = AJ2 + AD2 = 2
cos(alpha)  = 1/2 *(2 - (( -1 +√5)/2)2 ) = 1/2* ( 2 - (6-2√5)/4) = 1/2* (2 + 2√5)/4
cos(alpha)  = (1 + √5)/4 = cos(pi/5)
L'angle alpha vaut bien pi/5 et donc l'angle JAK vaut bien  2pi/5, ce qui prouve que JK est bien un côté du pentagone régulier.
La construction est donc bien validée. Elle a l'avantage de fournir directement les 5 sommets du pentagone.

4ème contruction : fournit également les sommets du pentagone assez directement.

méthode 4
 On part du cercle de centre A et de son diamètre DC.
F est le milieu de EA, rayon perpendiculaire à DC.
Soit H, le point (-1/4, 0) et le cercle vert de centre H et qui passe par F.
Il coupe en I et J le diamètre DC.
de I et J, on mène les perpendiculaires au diamètre DC qui coupent le cercel initial en M et N d'un côté et K et L de l'autre.
CKMNL est le pentagone cherché.

FH vaut √5 /4 et on a donc
AJ = (√5 -1)/4 et AI = (-√5 -1)/4

AJ est donc bien cos(72°) et AI cos(144°)

5ème construction Construction d'Euclide à partir d'un triangle d'or

6ème construction Uniquement avec des cercles : Construction de Mascheroni