On commence par construire 2 cercles,de centre A et de rayon AB et le symétrique, de centre B et de rayon AB.
Ces deux cercles se coupent en C et G.
Par construction : AB = GB = GA= 2. Le triangle GAB est donc équilatéral de côté 2 et sa hauteur est donc √3 car si P est le milieu de AB, PG2 = GB2 - PB2= 4-1 = 3
On trace ensuite le cercle de centre C et de rayon CG = 2√3
Ce cercle sera le cercle circonscrit à notre pentagone. Il coupe les deux autres cercles initiaux en F et H.
F, A, B et H sont alignés. FB = AH = 4 puisque les deux cercles initiaux sont de rayon 2.
En effet
P= (0,0), B= (1,0), A=(-1,0), G=(0,√3), C= (0,-√3)
si H= (3,0) on a CH2=PC2 +PH2 =3 + 9 = 12 donc CH = 2√3
H et F (par symétrie) sont donc bien sur le cercle de centre C et de rayon 2√3
Donc H(3,0) est bien l'intersection des deux cercles.
On trace ensuite les 2 cercles de centre B et de rayon BF et son symétrique, de centre A et de rayon AH. Ces 2 cercles se coupent en J et K.
J a donc pour coordonnées ( 0, √15) car BJ2=PJ2 +PB2 et PJ2 =BJ2 - PB2=16 - 1 = 15
JG = √15 - √3, JC = √15 + √3, GC= 2√3
JC/GC= (√15 + √3) / 2√3 = (√5 + 1) / 2. C'est le nombre d'or.
Par symétrie CK = JG = √15 - √3
On trace le cercle de centre K et de rayon CK. Il coupe le cercle rouge en O et N qui sont deux points du pentagone.
On trace enfin le cercle de centre J, de rayon JC qui coupe le cercle rouge en L et M qui sont deux autres points du pentagone en orange dont les sommets sont G, L, N, O, M .
Examinons le triangle JMC. Comme JM et JC sont deux rayons du dernier cercle, ce triangle est isocèle et le rapport de ses grands côtés au petit est : JC/MC= JC/GC = (√5 + 1) / 2.
Ce triangle est donc un triangle d'or. L'angle GCM ( GCL aussi) est donc bien de 72°.
Examinons également le triangle KCO. Comme CK et OK sont deux rayons du petit cercle bleu, le triangle est isocèle.
OC/CK = 2√3/√15 - √3 = 2/( √5 - 1) = 2* (√5 + 1) / ( 5 -1)= (√5 + 1) / 2
Ce triangle est aussi un triangle d'or et l'angle OCK vaut donc 36°. OCN vaut le double, soit 72°, ce qui prouve que ON est bien un côté de notre pentagone.
La figure étant symétrique, les angles MCO et LCN sont égaux. Comme la somme des angles qui interceptent les sommets est de 360°, ces deux angles valent (360° - 3* 72°)/2 = 72°. Tous les points du pentagone G, L, N, O, M sont sur le mème cercle, on a bien un pentagone régulier.
Le cercle circonscrit au pentagone a un rayon de 2√3. Le côté du pentagone ? Calcul par Al-Kashi à partir du cos(72°) = ( √5 - 1)/4
MO2 = MC2+OC2 -2*MC*OC*cos(72°) = 2MC2(1-cos(72°))= 24 * (3-√5 )/4= 18 - 6√5