Un triangle d'or est un triangle isocèle dans lequel les grands côtés et le petit côté sont dans la proportion dorée.
Celle ci est d'abord constitué sur une droite :
KE est divisé en 2 segments KJ et JE de façon que
KE/KJ = KJ/JE
C'est ce que Euclide appelle la moyenne proportion.
Le rapport est noté avec la lettre grecque PHI = (√5 + 1) / 2. C'est le nombre d'or.
Pour ce faire, On trace JC, perpendiculaire à KJ, de même longueur. Ce serait un deuxième côté du carré ayant pour base KJ.
On trace ensuite l'arc de cercle de centre D et de rayon DC qui coupe en E la droite KJ.
Il suffit ensuite de construire au compas les deux segments ( en jaune) KH et JH , de longueur égale à KE.
HKJ est donc un triangle d'or dont nous avons montré que les angles valent 36° et 2 fois 72°.
On dessine ensuite les bissectrices (en bleu) des angles HKJ et HJK.
Les points I et L intersections des bissectrices et des arcs de cercles de longueur KJ et de centre K et J
Dans le triangle isocèle par construction IKJ, les angles KJI et KIJ sont égaux. Mais on sait que l'angle IJK vaut 72°/2 = 36°
Donc l'angle IKJ vaut bien 180° - 2*36° = 108°.
Il nous reste a construire au compas les segment IH et HL qui sont égaux au côté du pentagone.
Les triangle HIK sont isocèles par construction.on a donc égalité des angles IHK= IKH= 36° et LHJ=HJL = 36°
L'angle IHL = IHK + KHJ + JHL = 36° + 36° + 36° = 108°
On en déduit que les angles HIL = HLI du triangle isocèle HIL valent 36°
La figure est symétrique par rapport à l'axe HD
Les angles HIK et HKL sont donc égaux
HIK= HKL = ( 540° - 3* 108°) / 2 = 108°
En effet la somme des angles d'un pentagones est bien de 3 * 180° car on peut découper le pentagone en 3 triangles dont la somme des angles est de 180°.
Le pentagone est donc bien régulier puisque tous ses angles sont égaux.