Géométrie du cercle :construction du triangle d'or

Le triangle d'or est un triangle isocèle dont les côtés sont en extrème et moyenne raison.
Soit un segment AB et un point C sur ce segment.
Pour qu'il soit en extrème et moyenne raison, il faut que AC soit à CB ce que AB est à AC.
Cela revient à : AB/AC = AC/CB
ou bien AB*CB = AC²
Pour le trianle d'or, AB représente le grand côté et AC sera le petit côté. Le rapport entre AB et AC vaut PHI = (1+ √5) / 2

Pour construire un triangle d'or, on part du segment AB et du point C qui satisfait l'extrème et moyenne raison. On trace le cercle de rayon AB et on va reporter la longueur AC avec un compas à partir de B. L'arc de cercle envisagé coup le cercle en D de tel sorte que AD = AB et BD = AC. Le triangle ABD est par construction isocèle. Il faut montrer que l'angle en A est égale à la moitié des angles en B et D. Ainsi on aura A + B + D = 180° = 5A --> A = 36° et B= D = 72° Pour cela on trace le cercle circonscrit au triangle ACD. La puissance de B par rapport à ce cercle vaut BC * BA = AC2 = BD2 puisque BD =AC On en déduit que BD est tangente au cercle ACD. D'après le théorème de la tangente et la corde , l'angle BDC est égal à  l'angle CAD. Comme le triangle ABD est isocèle, ayant deux côtés égaux, l'angle CBD = ABD = angle ADB CBD = BDA = BDC + CDA = CAD + CDA = 180°  - ACD = BCD Le triangle DCB est donc isocèle BD = CD = AC donc le triangle ACD est aussi isocèle. CDA = CAD = BDC donc CD est la bissectrice de l'angle ADB On en déduit que BDA = 2 * BAD Le triangle d'or est donc un triangle isocèle dont les angles sont 36°, 72° et 72° On va donc pouvoir construire un pentagone régulier à partir du triangle d'or. CQFD