Problème

Dans un triangle rectangle, deux cercles de même diamètre, tangents entre eux, sont tangents à l'hypothènuse. Quel est la valeur du diamètre des cercles, sqchqnt que les deux cotés de l'angle droit sont de 12 sun et 9 sun.
Le sun est une unité de longueur à l'époque d'edo qui vaut 3,03 centimètres.

Solution 1 :



Sangaku Tenchi Meisatsu
 AB vaut 9, BC vaut 12 donc AC vaut 15 d'après le théorème de Pythagore. 92 + 122 = 225 = 152

On note x les deux segments égaux issus de C et tangents à un des cercles et y les segments issus de A tangents à l'autre cercle.

On apelle O1 et O2 les centres des cercles de rayon r.
De O1, on abaisse la perpendiculaire à BC, de O2 la perpendicuaire à AB qui se coupent en K.
Les triangles O1O2K et ABC sont semblables.
On obtient donc
    O1K/2r = AB/AC = 9/15 = 3/5   donc O1K = 6r/5
    O2K/2r = BC/AC = 12/15 = 4/5 donc O2K = 8r/5
Mais
O1K = AB - r - y = 9 - r - y
O2K = BC - r -x = 12 - r - x
et
AC = x + y + 2r = 15

On obtient donc le système
x + y + 2r = 15
9  - r  -y  = 6r/5 --> y = 9 - 11r/5
12 - r -x = 8r/5 --> x = 12 - 13r/5

et donc
9 - 11r/5 + 12 - 13r/5 + 2r = 15
14r/5 = 6

Donc r = 30/14 = 15/7





Solution 2 :








triangles semblables
 Une solution plus géométrique et sans doute plus élégante.
On trace la perpendiculaire à AC qui passe par le point de tangence des 2 cercles. Soit D le pied de cette perpendiculaire. Elle coupe BC en E et AB en F.
On remarque que le triangle EDC est semblable au triangle ABC car l'angle DCE est commun au 2 triangles et l'angle DEC est bien égal à l'angle BAC, ayant tous deux l'angle DCE comme complémentaires.
On aura donc des côtés proportionnels
ED/DC=AB/BC = 9/12 = 3/4

Demême le triangle DEC et le triangle DAF sont semblables et même égaux puisque'ils ont des cercles inscrits de même rayon ( et donc la même surface).
On en conclut que AD = DE

Donc AD/DC = 3/4 et donc AD = 15 * (3/7) et DC = 15 * (4/7)

EC/AC = ED/AB = AD/AB 

EC =( AD* AC)/AB = (15*(3/7) * 15)/9 = 225/ (7*3) = 75/7

Pour le triangle DEC, on peut calculer la surface de 2 façons :
S = 1/2* DC*DE = 1/2* r * ( ED + EC +DC)
donc r = (DC*DE)/( (ED + EC +DC) = (60/7 * 45/7)/ (45/7 +(225)/(7*3)  +60/7)
           = (60*45/7) / ((315+225) /3) = (60*45/7) / (540/3) = (60*45/7)/ 180 = 15/7


Pour trouver la valeur du rayon, une façon plus simple :
On a vu que les triangles EDC et ABC sont semblables.
On a donc : EC/AC=ED/AB=CD/BC donc EC = AD * AC / AB
DC = r + x = r + EC - EH = r + EC - (DE - r) = 2r +EC - AD = 2r + AD (AC/AB -1)
2r = DC - AD ( AC/AB - 1) = 15 ( 4/7 - 3/7(5/3 - 1)) = 15 ( 2/7)
r = 15/7
Conclusion : on voit que l'hypothénuse AC se divise en 4 parties : 2/7, 1/7, 1/7, 3/7 de 15