Dans le livre 算法少女 de 遠藤
est reproduit un Sangaku à résoudre.
Le triangle rectangle ABC est inscrit dans un demi-cercle de rayon
R. Si le rayon r du cercle inscrit dans le triangle ABC est égal au
rayon du plus grand demi-cercle tangent au côté AB et à l'arc de cercle
AB, quelle est la relation entre les deux rayons R et r.
Si le cercle tangent à l'arc AB est maximal, son point de tangenceest
situé sur le milieu J de la corde AB. Si O est le centre du grand
demi-cercle, OJ est perpendiculaire à AB et parallèle à BC.
OJ = 1/2 * BC
On a alors
OH = HJ + OJ = R = 2*r + OJ = 2*r + 1/2*BC donc BC = 2R - 4r
Si on calcule la surface de ABC comme la moitié d'un rectangle 1/2 * AB * BC
Cette surface est aussi la somme des triangles AIC + CIB + AIB = 1/2* r ( AC + BC + AB)
Mais AC = 2R
CF = BC - r = 2R - 5r = GC = AC -AG = AC-AE = AC - AB + r = 2R - AB +r
donc
AB = 2R + r -2R + 5r = 6r
1/2 * 6r * (2R - 4r) =1/2 * r ( 2R + 2R -4r + 6r) --> 6(2R-4r)= 4R + 2r
Donc
3(2R-4r) = 2R+ r
d'où
4R = 13r et r = 4/13 * R
