Géométrie du cercle : théorème de la puissance d'un point par rapport à un cercle

On définit la puissance d'un point par rapport à un cercle en considérant les sécantes issues de ce point et en trouvant un invariant.

Soit  un cercle de centre O et de rayon R. On défini la puissance du point M par la formule P(M) = OM2 - R2 Si E et F sont les points d'intersection de la droite OM et du cercle, on voit que ME * MF = (MO + R) * (MO - R) Pour n'importe quel sécante on voit que le produit est toujours le même. P(M) = MA * MB = MC * MD Démontrons cette dernière égalité : Les triangles MCB et MAD sont semblables car ils ont des angles respectivement égaux: ABC=ADC deux angles inscrits de l'arc AC MCB=MAD deux angles supplémentaires de deux angles inscrits de l'arc BD : DCB et BAD Angle M commun. Les triangles semblables ont de côtés proportionels : MC/MA = MB/MD = CB/AD De la première égalité on en déduit : MA * MB = MC * MD La tangente MT est perpendiculaire au rayon TO Le théorème de pythagore donne MT2 + TO2 = MO2 soit MT2 = OM2 - R2 Avec la tangente on a donc P(M) = MT2 En résumé MA * MB = MC * MD = MT2 = OM2 - R2= P(M)