Géométrie et religion au Japon à l'époque d'Edo
Ex-voto
POUR LA SCIENCE N° 249 JUILLET 1998
Géométrie et religion au Japon

TONY ROTHMAN, HIDETOSHI FUKAGAWA

Quand le Japon s'isola, entre 1639 et 1854, des pratiques mathématiques originales apparurent. Notamment le peuple dédiait aux divinités des tablettes de bois ornées de problèmes géométriques
De 1639 à 1854, quand le Japon ferma ses frontières, les idées scientifiques occidentales cessèrent de s'introduire, et les mathématiques se développèrent sans échange avec celles des autres pays du monde. C'est alors que fleurit une tradition d'une rare élégance : des samouraïs, des marchands et des paysans passionnés de mathématiques résolvaient des problèmes de géométrie variés, puis inscrivaient leurs résultats sur des tablettes de bois, qu'ils suspendaient sous les toits des édifices religieux. Selon les cas, ces sangaku, littéralement « tablettes mathématiques », étaient des offrandes aux divinités ou des défis aux autres visiteurs des lieux saints.
La plupart des sangaku traitaient de géométrie euclidienne, mais ils mentionnent des problèmes bien différents de ceux des cours de géométrie occidentaux : les cercles et les ellipses y jouent un rôle prépondérant. On considère ainsi des cercles dans des cercles, des cercles dans des ellipses, des ellipses dans des cercles... Certains de ces problèmes sont élémentaires ; d'autres sont des casse-tête dont la résolution nécessite des techniques avancées, notamment de calcul intégral ou de géométrie affine. La plupart de ces problèmes s'apparentent aujourd'hui à la catégorie des mathématiques récréatives ou pédagogiques, mais certains résultats inscrits sur les tablettes votives japonaises anticipaient des résultats qui ne furent découverts qu'ultérieurement en Occident : le problème de Malfatti (inscrire dans un triangle trois cercles tangents entre eux deux à deux et tangents chacun à deux côtés du triangle), le théorème de Casey (trouver la relation entre les rayons de quatre cercles tangents à un cinquième cercle ou à une droite), le théorème des six sphères de Soddy (voir page 56) ou le théorème des cercles de Descartes (trouver la relation entre les rayons de quatre cercles tangents deux à deux) furent démontrés au Japon avant de l'être en Occident. Nombre de tablettes votives japonaises tiennent autant de l'œuvre d'art que de la publication mathématique.

Mathématiques divines
Comment cette pratique est-elle apparue ? Et quand ? L'accrochage de tablettes votives aux toits des sites religieux se pratiquait depuis plusieurs siècles quand apparurent les premiers sangaku. Le shintoïsme, religion officielle du Japon jusqu'en 1945, est un polythéisme qui admet « huit cents myriades de dieux, les kamis. Ces deniers, disait-on, aimaient les chevaux, et les fidèles trop pauvres pour leur offrir un cheval vivant pouvait à la place, en offrant une représentation dessinée sur bois. Aussi, jusqu'au XVe siècle, les tablettes votives représentaient souvent des chevaux.
Le plus ancien sangaku connu, découvert dans la préfecture de Tochigi, date de 1683. On a également trouvé, à Tokyo, une deuxième tablette datant de 1686, puis une troisième datant de 1691. Au XIXe siècle, le mathématicien japonais Kazu Yamaguchi consigna dans son journal de voyage la description d'une tablette encore plus ancienne, qui aurait été réalisée en 1668. Les historiens estiment que la tradition des sangaku date de la seconde moitié du XVIIe siècle
Le premier recueil de problèmes de sangaku fut publié en 1789. D'autres recueils parurent aux XVIIIe et XIXe siècles. Écrits à la main ou imprimés à partir de matrices en bois, ces ouvrages sont très beaux. Plus de 880 tablettes qui subsistent aujourd'hui font elles-mêmes référence à des centaines d'autres tablettes qui figurent dans divers recueils. Un recensement des sangaku existants révèle que tous les milieux, urbains ou ruraux, pratiquaient la tradition de ces ex-voto mathématiques; toutefois ces tablettes sont deux fois plus nombreuses dans les lieux de culte shintoïste  que dans les temples bouddhistes.
La plupart des sangaku conservés contiennent plusieurs théorèmes et sont souvent ornés de couleurs brillantes. Les théorèmes sont généralement livrés sans démonstration. À côté du résultat figurent le nom de l'auteur et la date de l'offrande. Les problèmes ne traitent pas uniquement de géométrie. Certains, qui calculent le volume de solides, imposent l'usage du calcul intégral, de sorte qu'on peut se demander quelles techniques étaient connues et utilisées par les Japonais. Nous examinerons plus loin cette question. D'autres tablettes proposent des équations diophantiennes, c'est-à-dire des équations algébriques dont on cherche des solutions en nombres entiers.
Aujourd'hui, les sangaku n'intéressent plus que quelques passionnés des mathématiques japonaises traditionnelles, et, parmi eux, Hidetoshi Fukagawa, un enseignant de lycée dans la préfecture d'Aichi (à mi-chemin entre Tokyo et Osaka). Il y a une trentaine d'années, H. Fukagawa décida d'étudier l'histoire des mathématiques japonaises, afin d'enrichir son enseignement. La mention de ces tablettes mathématiques, dans un vieil ouvrage trouvé en bibliothèque, le surprit, car il ignorait l'existence de tels objets. Depuis, H. Fukagawa parcourt le Japon à la recherche de ces tablettes et il est devenu un expert en sangaku, mais aussi en histoire des mathématiques japonaises traditionnelles.
Pour ses recherches, H. Fukagawa a dû apprendre le kambun, du chinois classique augmenté de signes qui facilitent la lecture par les Japonais. Equivalent japonais du latin, le kambun était la langue scientifique de la période d'Edo (1603-1867). H. Fukagawa est mis à contribution chaque fois que l'on découvre de nouvelles tablettes.

Les origines d'une tradition
Si l'origine des sangaku ne peut être datée avec précision, elle peut être localisée. En japonais, le mot wasan désigne les mathématiques développées au Japon, par opposition au yosan, qui désigne les mathématiques occidentales. L'histoire des mathématiques japonaises ancienne explique comment le wasan et la curieuse coutume du sangaku sont apparus.

Au milieu du VIe siècle, le bouddhisme s'introduisit au Japon, ainsi que les mathématiques chinoises. Dès le début du VIIIe siècle, le Japon avait importé les grands classiques chinois sur l'arithmétique, l'algèbre et la géométrie. Le plus ancien de ces ouvrages est le Chou-pei Suan-ching, qui contient le théorème de Pythagore et la figure habituellement associée à sa démonstration. Cette partie de l'ouvrage date au moins du VI siècle avant notre ère.

L'ouvrage intitulé Chiu-chang Suan-shu, qui fut le document chinois le plus important pour le développement des mathématiques japonaises, montre un état de connaissances plus avancé: il indique comment déterminer l'aire de triangles, de cercles et d'autres figures, et il résout des problèmes analogues à ceux des écoles d'aujourd'hui (Si cinq bœufs et deux moutons coûtent huit taels d'or, et si deux bœufs et huit moutons coûtent huit taels, combien coûte chaque animal?). La majeure partie de l'ouvrage fut certainement rédigée au III siècle avant notre ère: ainsi ce document serait le plus ancien à mentionner des nombres négatifs et à étudier une équation du second degré (certains historiens des mathématiques pensent toutefois que les Egyptiens avaient abordé les équations du second degré dès le troisième millénaire avant notre ère).

Malgré l'apport chinois, les mathématiques ne prirent pas racine au Japon. Le pays connut même une période d'obscurantisme quand l'Europe occidentale vivait son Moyen Age. Comme les églises et les monastères européens, les temples bouddhistes devinrent les seuls centres culturels, même si les mathématiques ne semblent pas y avoir joué un rôle majeur. Durant le shogunat des Ashikaga (1338-1573), le Japon n'avait plus d'expert en division.

Les mathématiques japonaises ne naquirent véritablement qu'au début du XVIIe siècle. Un certain Shigeyoshi Mori fut particulièrement productif seule de ses œuvres-un simple opus-aux alentours de 1600. Bien qu'une seule de ses oeuvres - un simple opuscule - nous soit parvenue on sait qu'il développa le calcul sur le soroban, le boulier japonais, et fit connaître ce type de calcul dans le pays.

Un de ses élèves, Mitsuyoshi Yoshida (1598-1672), a laissé un ouvrage important, Ce document intitulé Jinko-ki (littéralement, «Des nombres grands et petits») fut publié en 1627. Il traite également du calcul sur le soroban, et son influence fut telle que son titre fut longtemps synonyme d'arithmétique: les mathématiciens japonais s'intéressèrent plus au calcul qu'à la logique. Mori et Yoshida furent ainsi les pères des mathématiques japonaises.
Dans ce problème, qui provient d'un sangaku datant de 1803 et trouvé dans la préfecture de Gumma, la base d'un triangle isocèle repose sur un diamètre du grand cercle vert. En outre, ce diamètre partage en deux le cercle rouge intérieurement tangent au cercle vert et en contact avec le sommet du triangle. Le cercle bleu est tangent au triangle et au cercle rouge, et intérieurement tangent au cercle vert. Un segment de droite relie le centre du cercle bleu au point de contact du cercle rouge et du triangle. Montrer que ce segment est perpendiculaire au diamètre du cercle vert. gumma
Ce problème provient d'une tablette de 1874 trouvée dans la préfecture de Gumma. Un grand cercle bleu se trouve dans un carré. Quatre petits cercles orange. de rayons différents, sont tangents d'une part au cercle bleu, d'autre part aux côtés du carré. Quelle relation unit les rayons des quatre cercles et le côté du carré (indication: ce problème peut se résoudre par le théorème de Casey, qui donne la relation entre quatre cercles tangents à un cinquième cercle ou à une droite)? 1874

Quelques problèmes de sangaku dans le plan
(les réponses sont données en page 58).
pb1 Ce problème simple figurait sur une tablette datant de 1824, retrouvée dans la préfecture de Gumma. Les cercles orange et bleu sont tangents et tous deux tangents à une droite. Le petit cercle rouge est tangent aux deux premiers cercles et à cette même droite. Quelle relation unit les rayons des trois cercles?







Ce problème fut consigné en 1912 sur une tablette conservée dans la préfecture de Miyagi. Par un point P d'une ellipse, on trace la normale à l'ellipse, et l'on nomme Q l'intersec-tion de cette normale avec l'autre côté de l'ellipse. Quelle est la valeur minimale de PQ? Ce problème semble simple: la valeur minimale de PQ est le petit axe de l'ellipse. Ce n'est toutefois la solution que si b < a <=  racine carrée (2b), où a et b sont respectivement le grand axe et le petit axe de l'ellipse. En fait, la tablette ne donne pas cette solution, mais une autre, correspondant à 2b² < a².



Ce problème, qui se résout par la géométrie élémentaire, a été proposé en 1913 sur une tablette trouvée dans la préfecture de Miyagi. Trois carrés orange sont disposés à l'intérieur du tri-angle rectangle vert comme le montre la figure. Quelle relation unit les rayons des trois cercles bleus?

Quelques problèmes dans l'espace



 Ce problème, provenant d'un sangaku de 1825, fut probablement résolu à l'aide de l'enri, ou principe du cercle dans les mathématiques japonaises. Un cylindre coupe une sphère tout en étant intérieurement tangent à cette sphère. Quelle est l'aire de la surface du cylindre contenu dans la sphère?







Ce problème était mentionné sur une tablette de 1822, retrou-vée dans la préfecture de Kanagawa. Il anticipe de plus d'un siècle un théorème de Frederick Soddy, le chimiste britannique qui, avec Ernest Rutherford, découvrit la transmutation des éléments chi-miques. Deux sphères rouges tangentes entre elles sont inté-rieurement tangentes à la grande sphère verte. Un «collier» de sphères bleues plus petites et de tailles différentes entoure le point de tangence des deux sphères rouges. Les sphères bleues du collier sont deux à deux tangentes, tangentes aux sphères rouges et tangentes à la sphère verte. Quel est le nombre des sphères bleues? Quelle relation unit les rayons des sphères bleues?




Hidetoshi Fukagawa fut si fasciné par ce problème, qui date de 1798, qu'il en a construit un modèle en bois. Soit une grande sphère entourée de 30 petites sphères identiques. chacune tangente à ses quatre voisines et à la grande sphère. Quelle relation unit le rayon de la grande sphère et celui des petites sphères?
Dessins de Bryan Christie
Isolement et géométrie
Les mathématiques qui s'affichèrent sur les sangaku furent toutefois l'œuvre de nombreux individus, et non celle d'une élite. En 1639, le shogunat des Tokugawa (durant la période d'Edo) décréta de fermer les frontières du Japon afin de renforcer son pouvoir. Durant cette période de sakoku, de "fermeture du pays", le gouvernement proscrivit les ouvrages étrangers, interdit les voyages à l'étranger, persécuta les chrétiens et interdit l'accostage des navires portugais et espagnols. L'isolement persista durant plus de deux siècles, jusqu'à ce que le capitaine Matthew Perry, à la tête d'une flotte de guerre américaine, oblige le Japon à mettre fin à son sakoku, en 1854.
L'isolement du pays eut quelques avantages: la fin du XVII siècle fut une renaissance, ou Genroku. Les arts du haiku, des théâtres no et kabuki atteignirent leur apogée; l'ukiyo-e, l'art des peintures d'un "monde flottant", apparut; la cérémonie du thé et l'art du bouquet se développèrent, tandis que les mathématiques prospéraient autour de Takakazu Seki (1642-1708).
Au Japon, Seki est aussi connu qu'Isaac Newton ou Antoine Laurent de Lavoisier en Europe. On lui a attribué un très grand nombre de manuscrits et l'on sait qu'il forma de nombreux élèves, qui développèrent les mathématiques japonaises.
Le premier accomplissement de Seki fut sa théorie des déterminants, qui est plus puissante que celle de Gottfried Wilhelm Leibniz et la précède d'au moins une décennie. Il trouva également des méthodes pour résoudre des équations de degré élevé (une grande partie des mathématiques traditionnelles japonaises de cette époque concerne des équations de degré atteignant plusieurs centaines; l'une d'elles est de degré 1458). Enfin Seki semble avoir été à l'origine de l'enri, ou «principe du cercle».
L'enri était un champ de recherches mathématiques qui s'est développé après Seki. A la base, il utilise des méthodes analogues à celles qu'employaient Eudoxe et Archimède pour calculer l'aire des cercles à l'aide de polygones à n côtés, on approche la circonférence du cercle et l'on utilise de telles approximations pour calculer des aires et des volumes, par exemple. Ainsi l'enri fut une forme de calcul intégral, appliquée ensuite à d'autres figurestelles les sphères et les ellipses. Les techniques de l'enri ont été mis en euvre dans la réalisation des sangaku.
Des sphères dans des ellipsoïdes
Les premiers livres utilisant l'enri et les premiers sangaku attestés sont contemporains de Seki. Il ne s'agit pas là d'une coïncidence: les disciples de Yoshida et de Seki contribuèrent probablement au développement du wasan en même temps qu'ils en subissaient l'influence.
Certains racontent que Seki a rencontré son premier sangaku alors qu'il se rendait au château du shogun, dont il était le mathématicien officiel; les tablettes votives l'auraient incité à approfondir ses recherches. Est-ce une légende?
On ne le saura sans doute jamais, mais, au siècle suivant apparurent des livres contenant des problèmes typiquement japonais, mettant en jeu des cercles à l'intérieur de triangles, des sphères à l'intérieur de pyramides, des ellipsoïdes entourant des sphères. Les problèmes trouvés dans ces ouvrages différant peu de ceux qui ont été retrouvés sur les tablettes, les historiens ont conclu que l'engouement pour tous les problèmes de wasan - et la vogue des sangaku -.résulta de la politique d'autarcie du Japon
Cette autarcie fut-elle totale? A l'exception des Hollandais, autorisés à accoster dans le port de Nagasaki, sur l'île méridionale de Kyushu, tous les commerçants occidentaux étaient interdits de séjour. De surcroît, les déplacements des Japonais étaient sévèrement limités : un voyage à l'étranger était un acte de trahison, passible de la peine de mort. L'autarcie fut suffisamment complète pour minimiser l'influence des mathématiques étrangères sur les mathématiques japonaises.
En revanche, au XIX siècle, le wasan fut progressivement supplanté par le yosan. Apparurent alors des manuscrits mêlant des textes en kambun et des notations mathématiques occidentales. Puis, après l'ouverture du Japon et l'effondrement du shogunat des Tokugawa, en 1867, le nouveau gouvernement adopta le yosan et délaissa les mathématiques locales. Certains praticiens du wasan continuèrent de suspendre des tablettes (quelques sangaku datent même de la dernière décennie), mais la quasi-totalité des problèmes proposés durant le XXe siècle sont des plagiats
Qui étaient les auteurs des sangaku? Les théorèmes merveilleusement dessinés sur les tablettes votives étaient-ils l'œuvre de mathématiciens professionnels ou de simples amateurs? La question est difficile. Le traité d'histoire des mathématiques japonaises de David Smith et de Yoshio Mikami ne mentionne que quelques sangaku. Il cite le recueil Shimpeki Sampo («Problèmes mathématiques suspendus devant le temple»), publié en 1789 par le mathématicien professionnel Kagen Fujita.  D. Smith et Y. Mikami mentionnent une tablette sur laquelle la solution proposée est suivie de la référence suivante: «District féodal de Kakegawa, province d'Enshu, troisième mois de 1795, Sonobei Keichi Miyajima, élève de Sadasuke Fujita, de l'école de Seki». Dans son ouvrage consacré au développement des mathématiques en Chine et au Japon, Y. Mikami mentionne le « problème du temple de Gion », qui fut suspendu au temple de Gion, à Kyoto, par Enkyu Tsuda, élève d'Enri Nishimura. En outre, ces tablettes furent rédigées en kambun, signe que leurs auteurs appartenaient à une classe sociale cultivée.
D'autres observations montrent toutefois que les tablettes votives ne furent pas l'apanage des mathématiciens professionnels. Notamment nombre de problèmes proposés sont élémentaires et ne sont pas de ceux qu'étudieraient des professionnels. Dans la préfecture de Mie, H. Fukagawa a trouvé une tablette signée par un marchand. Sur d'autres tablettes figurent des noms de femmes et d'enfants âgés de 12 à 14 ans. Selon H. Fukagawa, la majorité des problèmes furent inventés par les samouraïs, mais quelques-uns furent proposés par des paysans le mathématicien Sen Sakuma (1819-1896), par exemple, enseignait le wasan aux fermiers de la préfecture de Fukushima et eut jusqu'à 2000 élèves.
Ce type d'enseignement rappelle la période d'Edo, où le Japon n'avait ni lycées ni universités. Le peuple japonais venait alors apprendre à lire, à écrire et à calculer sur des bouliers dans des écoles privées ou dans des temples.
Des individus de toutes les classes sociales semblent donc avoir contribué aux sangaku: de nombreux Japonais s'adonnaient avec autant de plaisir aux mathématiques qu'à la poésie et à d'autres formes d'art, parce qu'ils étaient attirés par la beauté de la géométrie. Les maîtres, au terme de leur journée d'enseignement, ou les samouraïs qui avaient cessé de combattre s'isolaient pour concevoir des problèmes mettant en jeu des sphères et des ellipsoïdes; la sereine contemplation mathématique était alors un loisir. Quand la solution était trouvée, on l'écrivait sur une plaque de bois que l'on suspendait ensuite au temple local. Les visiteurs du temple remarquaient la tablette colorée et admiraient sa beauté. Nombre d'entre eux quittaient alors le temple en se demandant comment l'auteur du problème était parvenu à une telle solution. Certains décidaient de résoudre le problème ou d'étudier la géométrie afin de tenter de le résoudre. D'autres quittaient le temple en se demandant « Que se passerait-il si l'on modifiait légèrement le problème et que....
tenpo
3. LES EX-VOTO MATHÉMATIQUES DU JAPON furent parfois l'œuvre de mathématiciens professionnels, mais, parfois aussi, ils furent réalisés par des commerçants, des samouraïs, des enfants... Sur ces plaques de bois, sont généralement mentionnés le problème, le nom de celui qui a réalisé l'ex-voto, la date de l'offrande; certains sangaku sont des chefs-d'œuvre.

Tony ROTHMAN est professeur de mathématiques à l'Université Harvard. Hidetoshi FUKAGAWA est professeur de mathématiques dans la préfecture d'Aichi
Annick HORIUCHI, Les mathématiques japonaises à l'époque d'Edo (1600-1868), une étude des travaux de Seki Takakazu et de Takebe Katahiro, Librairie philosophique J. Vrin, Paris, 1994.
Yoshio MIKAMI, The Development of Mathematics in China and Japan, deuxième édition, Chelsea Publishing Company, New York, 1974.
H. FUKAGAWA et D. PEDOE, Japanese Temple Geometry Problems, Charles Babbage Research Foundation, Winnipeg, Canada, 1989.
David E. SMITH et Yoshio MIKAMI, A History of Japanese Mathematics, Open Court Publishing Company, Chicago, 1914 (également disponible sur micro-film).
H. FUKAGAWA et D. SOKOŁOWSKY, Traditional Japanese Mathematics Problems from the 18th and 19th Centuries, Science Culture Technology Publishing, Singapour, à paraitre.
 
Le système officiel et juridique : Kō-Otsu-Hei-Tei (甲乙丙丁)
Issu des "tiges célestes" chinoises, ce système est très utilisé dans les contrats, les documents administratifs ou juridiques pour désigner les parties (ex: Partie A et Partie B).
圓 : forme ronde, cercle

1. AU JAPON, de nombreux lieux de pèlerinages shintoistes et bouddhistes abritent des sangaku : ces tablettes votives étaient traditionnellement suspendues sous les avant-toits des édifices religieux. Les problèmes consignés sur les sangaku traitaient presque toujours de géométrie. Nombre de ces tablettes sont délicatement peintes ; certains problèmes ont été inscrits en idéogrammes dorés.