Géométrie du cercle : théorème de l'angle entre tangente et corde

Ce théorème de géométrie élémentaire qui qualifie l'angle entre une corde et une tangente est utile pour justifier la construction du triangle d'or

Soit  un cercle de centre O et un triangle ACD inscrit dans ce cercle. Le côté AC se prolonge jusqu'à un point B depuis lequel on trace la tangente au cercle Quel est la valeur de l'angle BDC entre cette tangente et la corde CD ? On trace les segments qui joignent le centre du cercle O à C et à D. Le triangle OCD est isocèle car OC et OD sont deux rayons du cercle et les angles OCD et ODC sont donc égaux. La tangente BD est perpendiculaire au rayon OD, par définition de la tangenete. On a donc BDC = 90° - ODC On a COD = 180° - ODC  - OCD= 180° - 2 * ODC L'angle inscrit CAD vaut la moitié de l'angle au centre correspondant COD et CAD = COD/2 = (180° - 2 * ODC) / 2 = 90° - ODC = BDC L'angle entre la tangente et la corde est donc égal à l'angle inscrit qui intercepte cette corde.