Théorème de l'angle inscrit

Géométrie du cercle : théorème de l'angle inscrit

Un angle inscrit qui soutient un arc de cercle est égal à la moitié de l'angle au centre correspondant.

Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.

Ces théorèmes de géométrie élémentaire sont utiles pour démontrer le théorème concernant l'angle avec une tangente et une corde.

Dans un cercle, un angle inscrit estégal à la moitié de l'angle au centre correspondant.

Soit un point M sur le cercle de centre O et deux points A et B qui déterminent un angle inscrit AMB

On prolonge le rayon MO qui coupe le cercle en D.

Pour cela, on distingue 3 cas:

1. Le point D coincide avec le point B
On AOD + MOA = 180°
OA et OM sont deux rayons, donc le triangle MOA est isocèle et AMO et OAM sont égaux
La somme des angles du triangle est 180°
MOA + AMO + OAM = MOA + 2* AMO = 180°
On en déduit que AOD = 2* AMO
CQFD

2. Les points A et B sont de part et d'autre du diamètre MD.
D'après le cas 1, on a
2* AMO = AOD
2* OMB = DOB
En additionnant les deux relations
2* (AMO + OMB) = AOD + DOB
soit
2 * AMB = AOB

3. Les points A et B sont sur le mêm arc soutenu par le diamètre MD.
On a toujours

2* AMO = AOD
2* OMB = DOB

En soustrayant les deux relations
2* (AMO - OMB) = AOD - DOB
soit 2 * AMB = AOB

En conclusion, l'angle au centre qui soutient le même arc de cercle que l'angle inscrit vaut deux fois l'angle inscrit.

Si deux angles inscrits soutiennent le même arc, ils sont donc égaux pusique tous deux ont le même angle au centre