Soit ABC un triangle dont les 3 angles sont aigus.
On désigne par I, J, K les pieds des hauteurs du triangle ABC, issues respectivement de A, B, C.
Montrons que IA est la bissectrice de l'angle KIJ.
Les triangles AJB et AIB sont rectangles ; les points A, J, I et B sont donc sur un cercle de diamètre AB. Traçons ce cercle.
Les angles inscrits ABJ et AIJ qui interceptent le même arc sont donc égaux..
De même les points A, K, I et C sont sur le cercle de diamètre AC. Traçons ce cercle.
Les angles inscrits ACK et AIK qui interceptent le même arc sont donc égaux..
L'angle ABJ a pour complément l'angle BAJ car le triangle ABJ est rectangle. De même, comme le triangle AKC est rectangle, les angles ACK et KAC sont complémentaires. Les angles BAJ et KAC étant identiques, les angles ACK et ABJ, qui ont même complément sont égaux.
On en déduit que les angles ABJ, AIJ, ACKet AIK sont égaux. AIK et AIJ sont égaux donc AI est la bissectrisse de l'angle KIJ.
La droite IJ est donc symétrique de IK dans la symétrie de droite AI.
(IK) = σ (AI) (IJ)
2) On construit I1 = σ (AB) (I) et I2 = σ (AC) (I)
Comme J appartient à AC et que I est symétrique de I2 par rapport à AC , IJ est le symétrique de I2J par rapport à AC. Les aagles IJC et CJI2 sont donc égaux.
BJ est la bissectrice de l'angle KJI par permutation circulaire du résultat trouvé au 1). Les angles KJB et BJI sont donc égaux.
Évaluons l'angle KJI2 :
KJI2 = KJB + BJI + IJC + CJI2 = 2 ( BJI + IJC) = 2 (BJC) = 2(90°)= 180 °
Les points KJI2 sont donc alignés. De même I1, K et J sont alignés et l'on a donc bien I1,K, J, I2 alignés dans cet ordre.
3) Considérons un triangle IHK inscrit dans ABC et construisons comme précédemment I1 et I2 symétriques de I par rapport à AB et à AC. Comme I1H est égal à IH et que IK est égal à I2K, le périmètre P du triangle vaut :
P = IH + HK + KI = I1H + HK + KI2
Or comme AB est la médiatrice de I I1 et que AC est la médiatrice de I I2, les angles I1AI et BAI sont égaux et IAC et CAI2 sont égaux. L'angle I1AI2 est égal à 2 fois l'angle BAC qui est constant.
Les 3 points I, I1, et I2 sont situés sur le cercle circonscrit au triangle I I1 I2
Lorsque le point I est fixe, les points I1, et I2 sont également fixes et le périmètre égal à I1H + HK + KI2 sera donc minimum quand les 3 points sont alignés et vaudra alors la distance du segment I1, et I2 . La corde sera minimum quand le rayon du cercle circonscrit au triangle I I1 I2 est lui même minimum. Or ce cercle admet AI pour rayon. La distance entre A et I est minimum quand AI est perpendiculaire à BC : c'est donc quand I est le pied de la hauteur.
Dernière mise à jour : 03/06/2003